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A história de Mussaraf

Matemático e Músico

Hora Feliz da Matemática - Episódio 002 - 16/5/2011

A dança do embaralhamento

Aprenda adição algébrica de números inteiros

Introdução
 A curiosidade de alguns estudantes tanto do ensino fundamental ou médio sobre a história dos números e especialmente a dos números negativos, incentivou-me a pesquisar sobre o assunto, e daí surgiu a idéia de neste artigo caminhar na linha do tempo de 300 a .C. ao século XX.

Mostrando que entre a aparição e aceitação do número negativo levou mais de 1000 anos.

É interessante que os alunos saibam que as mesmas dúvidas que aparecem hoje no contato com os números inteiros, já instigava questionamentos de célebres matemáticos como Euler, Laplace, Cauchy, Mac Laurin e Carnot, por exemplo.
       

Laplace (1749-1827) com respeito a Regra de Sinais disse:

"É difícil conceber que um produto de (-a) por (-b) é o mesmo que a por b".

Mac Laurin (1698-1746) disse a respeito do número negativo: "A quantidade negativa, bem longe de ser rigorosamente menos que nada, não é menos real em sua espécie que a quantidade positiva".

O Surgimento do número negativo

Ao contrário dos números naturais e fracionários positivos que tem raízes em experimentações geométricas, os números negativos , os irracionais e os complexos surgiram da manipulação algébrica, como na resolução de equações de 1º e 2º graus.

Os matemáticos do período Alexandrino que se iniciou 300 a.C., influenciados pela civilização egípcia e babilônica, fizeram uma matemática mais orientada para resolver problemas práticos, abordavam temas de óptica, geografia, hidrodinâmica e astronomia.

Nestes trabalhos utilizaram números irracionais com aproximações e iniciaram uma álgebra sem usar a geometria. Foi Diofanto (300 à 250 a.C.) que introduziu uma notação abreviada para representar as potências e as quantidades desconhecidas e abordou a resolução das equações algébricas sem recorrer à geometria.

Assim o produto concreto do tipo (x-3) (x-4) foi desenvolvido algebricamente , o que há de supor que ele conhecia a identidade algébrica (a-b) (c-d)=ac-bc-ad+bd.

É citado uma regra para este produto de diferenças que pode ser considerada como o "germem" do que pode ser chamado de regra de sinais: "Subtração por subtração dá adição".

Isto não significa que conhecesse os números negativos, pois esta regra se refere ao produto de diferenças e sempre a>b e c>d , e não há produto de números negativos. Diofanto considerava somente as raízes positivas das equações, mostrando o seu desconhecimento pelos números negativos.

Civilização hindu - Invenção do número negativo

A grande contribuição dos hindus para a matemática foi a criação de um sistema de numeração posicional de base dez, cuja eficácia e simplicidade para o cálculo aritmético se estendera universalmente.

A necessidade de agilizar os cálculos astronômicos os sábios hindus se preocupavam por idealizar formas de representação numérica que simplificassem esse cálculos.

Os matemáticos hindus mostraram ser virtuosos no cálculo aritmético e algébrico que permitiram conceber um novo tipo de símbolo para representar dívidas que posteriormente o Ocidente chamariam de negativo.      



A primeira vez que explicitamente as regras que regem a aritmética com os números negativos aparecem em uma obra foi na do matemático Brahmagupta que data do ano 628 d.C. Não só utilizou os negativos em seus cálculos como os considerou entidades separadas e os dotou de uma aritmética concordante com a dos inteiros.Muitos séculos se passaram para que o interesse pelos números negativos fosse retomado.

Civilização árabe - Os negativos ignorados

O ano de 622 d.C. marca o início da era muçulmana e o começo da expansão do estado islâmico. Após um século os árabes começaram a se interessar pela cultura dos povos conquistados.

Al-Kwrizmi foi um matemático que alcançou maior popularidade, morrendo em 850 d.C.

Ele escreveu tratados de astronomia, livros de álgebra e aritmética que tiveram muita influência na matemática européia no final da Idade Média e no Renascimento.

Alguns historiadores escreveram que foram problemas com dinheiro que interpretaram o número negativo como perda.

Negativo - esta palavra pode ter vindo desta época que eram os valores NEGADOS quando se obtinha raízes negativas de uma equação.

Renascimento

No Renascimento abriu-se uma nova etapa para os números negativos.

Provavelmente foi no Renascimento que apareceu um número negativo ligado à uma equação algébrica, na obra do matemático francês Nicolás Chuquet (1445-1500). Se trata de seu "Triparty", escrita em 1484, que poderíamos dizer hoje 4x = -2 . Não existia os símbolos "x", "=", "-".
       

Stevin (1548-1620) aceita os números negativos como raízes e coeficientes de equações.

Admite a adição de x +(-y) em lugar de considerá-la como subtração de y á x. Também tratou de justificar geometricamente a regra de sinais fazendo uso da identidade algébrica: (a-b) (c-d)= ac-bc-ad+bd

	b	a
c
d

Século XVII - com o nascimento das ciências modernas, amplia-se o uso dos números negativos. Aparece as primeiras intenções de legitimá-los.

Foi o matemático Albert Girard (1590-1639) o primeiro a reconhecer explicitamente a utilidade algébrica de admitir as raízes negativas e imaginárias como soluções formais das equações; porque ele permitia uma regra geral de resolução na construção de equações através de suas raízes.

No final do século XVII, surgiu a obra de Viéte, esta mais tarde ampliada admitiu que as expressões literais pudessem tomar valores negativos, no entanto, a Álgebra não teria conhecido um tal avanço se esta generalização do número não tivesse sido acompanhada por uma descoberta igualmente fundamental, realizada em 1591 por Viéte e aperfeiçoada em 1637 por Descartes: a notação simbólica literal.

Demonstração das Regras de Sinais para a multiplicação- Cauchy

1) a=+A   3) +a=+A    5) –a=-A

2) b=-A    4) +b=-A     6) –b= +A

Substituindo 1 em 3 temos:

+(+A) = +A            + . + = +
       

Substituindo 2 em 4 temos:

+(-A) = -A              + . - = -

Substituindo 1 em 5 temos:

-(+A)=-A               - . + = -

Substituindo 2 em 6 temos:

-(-A)=+A               - . - = +

A legitimidade dos números negativos deu-se definitivamente por Hermann Hankel (1839-1873) publicada em 1867, "Teoria do Sistema dos números Complexos". Hankel formulou o princípio de permanência e das leis formais que estabelece um critério geral de algumas aplicações do conceito de número.

Finalmente Dedekind (1831-1916), amigo de Cantor estabeleceu uma relação de equivalência entre pares de números naturais e faz referência da subtração como inversa da adição: a-b =c-d, logo a+d= b+d . Ele demonstra que esta relação é de equivalência, e o conjunto das classes de equivalência será o conjunto dos números Inteiros.
Foram os complexos os últimos a obterem legitimidade.
A fundamentação dos números complexos foi proporcionada por Hamiltom (1805-1865).

Profª Leda Maria Bastoni Talavera tem especialização em Educação Matemática pelas Faculdades Oswaldo Cruz leciona no Colégio Campos Salles (S.P.). Este artigo surgiu da reflexão coletiva do grupo de pesquisa em Educação Matemática da Escola do Futuro (USP), coordenado pela Drª Ruth Ribas Itacarambi.

Espelhos e caleidoscópios: investigações matemáticas sobre simetrias

A beleza dos caleidoscópios e a possibilidade de formar inúmeras figuras quando unimos dois ou três espelhos fascinaram os alunos e os ajudaram a entender a geometria. Por meio de experiências com espelhos, o professor propôs que a turma entendesse, na prática, o conceito de simetria e as relações entre ângulos e lados de polígonos. As atividades começaram com uma pequena avaliação escrita individual para checar os conhecimentos da turma. Em seguida, Rodrigues dividiu a sala em grupos e deu início às experiências.

http://www.fvc.org.br/educadornota10/vencedores/edson-tho-rodrigues-675982.shtml

Plano cartesiano na arquitetura

Nomeado em referência ao filósofo francês René Descartes (1596-1650), o plano cartesiano é um sistema de localização de pontos usado em diversos contextos, por exemplo, na elaboração de gráficos, no planejamento de construções – em plantas arquitetônicas – e como base para serviços de GPS. Foi esse conteúdo de geometria analítica que os alunos do 8º ano do CEEMF Vale do Saber, em Apucarana, a 362 quilômetros de Curitiba, aprenderam com a professora nota 10 Marlene Garcia Alves. Neste vídeo, Roberto Alfredo Pompeia, professor da Universidade Anhembi-Morumbi, explica como o sistema de coordenadas cartesianas se aplica à Arquitetura.

 

Fonte: http://revistaescola.abril.com.br/fundamental-2/uso-plano-cartesiano-arquitetura-805385.shtml

Quando elevamos a zero qualquer número diferente de zero, obtemos 1 como resultado. Por quê?

Fonte: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/fundamentos/qualquer-numero-nao-zero-igual-1-se-elevado-zero-427784.shtml

Por que a multiplicação de números com sinais iguais resulta num número positivo e de sinais diferentes num negativo?

Multiplicar números de sinais contrários sempre nos leva para o lado esquerdo do zero, ou seja, para resultados negativos. Se multiplicarmos números de sinais iguais, mesmo que estejamos à esquerda do zero, vamos procurar o oposto, que estará do lado direito.

Ilustração: Erika Onodera

A confusão com a regra dos sinais surge da atribuição de um sentido ao resultado negativo. Afinal, contar duas ovelhas é fácil, mas como explicar "menos duas ovelhas"? Os números negativos já foram denominados falsos, absurdos e fictícios pelos matemáticos, pois não era fácil vinculá-los a um objeto ou a uma situação simples como a enumeração. No século 18, usando a reta numerada, com números à direita e à esquerda do zero, isso foi resolvido: ficou claro que um número menor que zero, portanto negativo, está localizado à esquerda dele, e os positivos, à direita. Um número negativo é, portanto, oposto ao positivo. Logo, calcular -5 +3 é o mesmo que sair do zero, andar cinco casas à esquerda e, depois, percorrer mais três à direita, resultando -2. Já no caso de -2 X +3, saímos do zero e andamos duas casas à esquerda por três vezes, chegando ao -6. Finalmente, quando fazemos -2 X -3, estamos tentando descobrir o produto de dois números opostos. Nesse caso, ao negar uma negação, temos uma afirmação: o resultado, 6, necessariamente é positivo.

Fonte: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/fundamentos/multiplicacao-numeros-sinais-iguais-resulta-num-numero-positivo-sinais-diferentes-num-negativo-502930.shtml

Jovem calcula por que é tão difícil encontrar uma namorada

Cientista movido por uma natural angústia masculina calculou quantas almas gêmeas em potencial você pode ter por aí – e mostra como é difícil encontrá-las

por Redação Galileu

A galera da foto deu sorte - podem demorar anos até encontrar uma namorada bacana // Crédito: Shutterstock

 

Um cientista da computação da Universidade de Toronto chamado Tristan Miller resolveu descobrir porque é tão difícil arranjar uma namorada. Afinal, há muitos peixes no mar, não é? Ao que parece, nem tanto. Pelo menos é isso o que mostra a estatística.

        Ele começa usando o número de pessoas na Terra – 7 bilhões de pessoas. Destas, 3,4 bilhões são mulheres, segundo o censo de 2010 da ONU. Ainda assim é um número alto, não? Lógico, temos que considerar a geografia. Então são 635 milhões de mulheres de países que ele pode conhecer ou que tem condições financeiras de visitá-lo em Toronto. Mas essas são todas as mulheres desses países – desde as recém-nascidas até as vovós. Supondo que você queira uma namorada com idades entre 18 e 25 anos, o número é de 68,22 milhões de mulheres.

        Levando em consideração os parâmetros individuais do que é beleza, você deve se sentir atraído por 1,4 milhão destas mulheres. Mas não é só isso que você procura no amor da sua vida, né? Aquelas que vão conseguir manter um papo bacana com você, que têm as mesmas referências, são 236 mil.

        Ok, mulheres na mais tenra idade, bonitas e inteligentes. É claro que uma boa parte delas já estará comprometida. Sem base no censo e sim em um ‘chute’ científico, Tristan estima que 50% delas já seja casada ou tenha namorado, o que o deixa com 118 mil possíveis namoradas.

        E outro fator muito importante: a candidata também precisa te achar atraente e gostar de você. Usando os mesmos cálculos citados anteriormente para o outro lado do jogo, Tristan estima que 15.8655% dessas mulheres, ou seja, 18,726, corresponderiam seus sentimentos.

        Aí temos uma quantidade de mulheres em seus padrões que também pensam o mesmo de você. Bacana – ou nem tanto. Afinal, quantas delas o acaso vai realmente permitir que você conheça? E, supondo que você vá a um encontro com cada uma delas para decidir qual é o amor da sua vida, durante todos os dias da semana, 3,493 semanas seriam gastas nesse processo todo. Isso equivale a 67 anos de busca. Se você já tem mais que 18 anos, quando você chegar lá, apostamos que as gatinhas já não vão se interessar tanto por você – isso se você ainda estiver entre os vivos.

        A conclusão? A incerteza masculina sobre a mulher ideal que torna tão difícil encontrar uma namorada bacana. E outra, acrescentada pela equipe da Galileu:se o cara faz esse tipo de contas como passatempo em vez de sair por aí, não é mistério que ele ainda não tenha arranjado uma namorada.

Matemáticos criam fórmula para a decoração 'perfeita' de árvore de Natal

Objetivo é ter os enfeites colocados de forma harmoniosa.
Instrução de cálculo foi elaborada em universidade britânica.

Decorar sua árvore de Natal não é necessariamente uma questão de bom gosto. Matemáticos da Universidade de Sheffield, no Reino Unido, desenvolveram uma fórmula para você acertar na decoração de fim de ano.

Mais especificamente, ela calcula qual a proporção de ornamentos e luzes que deixará sua árvore de Natal mais agradável de se ver.

Tudo o que você precisa saber sobre sua árvore é a altura em centímetros. Depois, é só jogar o valor na calculadora online desenvolvida pelos pesquisadores e pronto! Ela mostra quantos enfeites colocar, o comprimento do festão – na imagem, é a fita dourada que rodeia a árvore – e o tamanho ideal do pisca-pisca.

Você sabia que uma árvore de 1,80m precisa de apenas 37 ornamentos para ficar bonitona? E pensar que ficávamos nos esforçando para enfeitar cada galho que sobrava. Isso deveria ter chegado antes. [The University of Sheffield via PhysOrg]

Imagem: Gl0ck & Smileus/Shutterstock

Para calcular rapidinho, acesse: http://www.shef.ac.uk/news/nr/debenhams-christmas-tree-formula-1.227810

Fonte: http://g1.globo.com/natal-e-ano-novo/2012/noticia/2012/12/matematicos-criam-formula-para-decoracao-perfeita-de-arvore-de-natal.html

A Beleza da Matemática.wmv

A beleza da matemática

Enfim... falou-se o que deve ser realmente dito.

Por que falta água na Cantareira

ECONOMIA & NEGÓCIOS

04 Fevereiro 2015 | 11:58

É necessário recuperar a vegetação nas áreas de nascentes e cursos d’água ao invés de apenas fazer obras de engenharia, defendem os especialistas Eduardo Assad e Roberto Rodrigues

Foto aérea da represa Atibainha, parte do sistema Cantareira (Reuters)

Eduardo Assad e Roberto Rodrigues*

Em meio a tantas notícias ruins, como queda da Bolsa, falta de água, falta de luz, eis que das montanhas de Minas Gerias surgem notícias razoavelmente boas. A água voltou a brotar nas nascentes no alto da serra da Mantiqueira, nos municípios que alimentam o rio Jaguari, principal fornecedor de água para a Cantareira.

O problema é que ainda não tem volume nem força para percorrer 100 quilômetros e encher os reservatórios do Sistema Cantareira em Bragança Paulista e Joanópolis, em São Paulo. Mas é a natureza nos indicando que se preservarmos ela reage.

Nos últimos 500 anos desmatamos as nascentes e as áreas ao longo dos rios que nos abastecem de água. No passado, Minas Gerais e São Paulo brigaram por causa do ouro: foram guerras localizadas e sangrentas, todas para atender a corte. Hoje o ouro é a água. E vindo também de Minas Gerais, de Munícipios que adotam políticas de preservação dos seus rios, como o município de Extrema. Não poderia ser diferente: preservou, choveu e a água brotou.

Mas, por que não brota nos outros oito municípios paulistas que compõem a região da Cantareira?

A resposta é Simples. O desmatamento no passado foi muito grande. Enquanto nos preocupávamos, com razão, com os impactos do desmatamento na Amazônia, nos esquecemos de cuidar do quintal de casa.

Permitimos a expansão urbana desenfreada, impermeabilizamos os solos,  cortamos as árvores e reduzimos a infiltração da água que alimenta o lençol freático.

Aumentou a erosão e as enchentes se multiplicaram. As mudanças climáticas explicam em parte a maior frequência de ocorrência de chuvas intensas nos últimos anos.

Mas o maior o problema foi a redução dramática da vegetação em torno das nascentes e dos cursos d´água. Nos 12 municípios que estão em volta da Cantareira, quatro estão em Minas Gerais e oito em São Paulo: Itapeva, Camanducaia, Sapucaí-Mirim e Extrema em Minas Gerais e Bragança Paulista, Vargem, Joanópolis, Piracaia, Nazaré Paulista, Mairiporã, Franco da Rocha e Caieiras, em São Paulo.

Em todos eles a situação é alarmante. Estudos da Embrapa com a Fundação Getúlio Vargas indicam que são mais de 8.100 km de rios e córregos com menos de 10 metros de largura não protegidos, em 34 mil hectares desmatados.

Existem diversos exemplos no Brasil mostrando que a simples revegetação promove a volta da água. Para iniciar essa recuperação na Cantareira serão necessárias milhões de mudas de espécies nativas da Mata Atlântica. Muitas são conhecidas e bem estudadas. E em São Paulo estão as maiores empresas capazes de indicar as espécies e produzi-las. Pena que nada foi feito. Enquanto isso, só se fala em buscar água daqui e de acolá, e em obras de engenharia.

Nova York passou por problemas parecidos. Preservou as nascentes na áreas mais altas e revegetou as áreas de preservação permanente. Atuou diretamente naquilo que é conhecido como segurança hídrica, que é manter o ciclo hidrológico funcionando, preservando as funções hídricas da biodiversidade.

Em 17 de março de 1537, Duarte Coelho, Governador de Pernambuco, enviou requerimento à câmara de vereadores de Olinda, proibindo o corte  de todas as madeiras ao redor dos ribeiros e das fontes sob pena posta em regimento. Também proibiu que os colonos jogassem lixo nos rios e nas aguadas. Temos história! Acorda Brasil! Acorda São Paulo!

*  Pesquisador da Embrapa e Pesquisador Visitante da Escola de Economia de São Paulo da Fundação Getúlio Vargas

** Coordenador do Centro de Agronegócio da FGV, Embaixador Especial da FAO para as Cooperativas e Presidente da Academia Nacional de Agricultura SNA e ex-ministro da Agricultura

Fonte:  http://economia.estadao.com.br/blogs/retratos-da-economia/por-que-falta-agua-na-cantareira/

APERFEIÇOANDO A ARITMÉTICA...

Como anda a sua 
prática no cálculo mental?

Vamos treinar um
pouco a tabuada?

Seja espert@: o tempo será cronometrado!
Lembre-se de ativar o relógio, acessando o link...

http://phet.colorado.edu/sims/arithmetic/arithmetic_pt_BR.html

Bom estudo para você!!